On connected components of fractal cubes

В статье показывается существенное отличие фрактальных кубов от фрактальных квадратов. В основе топологической классификации фрактальных квадратов, полученной в 2013 г. К.-С. Лау с соавторами, лежит рассмотрение свойств Z-периодического расширения Z и его дополнения R. Фрактальный квадрат R содержит отличную от отрезка или точки связную компоненту тогда и только тогда, когда содержит ограниченную связную компоненту. Мы показываем, что существует фрактальный куб в R, для которого множество связно, а множество связных компонент куба обладает следующими свойствами: - вполне несвязное самоподобное подмножество гиперпространства R, билипшицево изоморфное канторову множеству ; все множества Z связны и попарно не пересекаются; множество значений хаусдорфовых размерностей совпадает с некоторым промежутком