Finite totally k-closed groups1

Для натурального числа k группа G называется вполне k-замкнутой, если в каждом из ее точных подстановочных представлений, например, на множестве Ω группа G является наибольшей подгруппой Sym(Ω), оставляющей на месте как множество каждую G-орбиту индуцированного действия на Ω×⋯×Ω=Ωk. Доказано, что любая конечная абелева группа G вполне (n(G)+1)-замкнута, но не вполне n(G)-замкнута, где n(G) - количество инвариантных множителей в разложении G на инвариантные множители. В частности, доказано, что для каждого натурального числа k≥2 и для каждого простого числа p существует бесконечно много конечных абелевых p-групп, которые вполне k-замкнуты, но не вполне (k−1)-замкнуты. В частном случае k=2 этот результат был получен Абдоллахи и Арезумандом. Поставлено несколько открытых вопросов о вполне k-замкнутых группах.