Стратификации и слоения в фазовых портретах моделей генных сетей

Периодические процессы функционирования широкого класса генных сетей с хорошей точностью описываются предельными циклами многомерных систем дифференциальных уравнений кинетического типа. Такие системы, часто называемые в литературе динамическими, составляются по схемам положительных и отрицательных связей между компонентами моделируемых сетей. Искомые функции в уравнениях описывают зависимость от времени концентраций этих компонент. При планировании вычислительных экспериментов с подобными математическими моделями полезно предварительно описать качественное поведение ансамблей траекторий соответствующих динамических систем, в частности оценить области максимального правдоподобия начальных данных, исследовать обратные задачи идентификации параметров, особые точки этих систем, локализовать в фазовых портретах положение циклов, в том числе предельных, стратифицировать фазовые портреты на подобласти с качественно различным поведением траекторий и т. п. Такой априорный геометрический анализ рассматриваемых моделей генных сетей полностью аналогичен хрестоматийному разделу начальных курсов математики «Исследование функций и построение графиков», в котором описываются методы наглядного представления поведения кривых, определяемых уравнениями. В настоящей статье в фазовых портретах динамических систем, моделирующих функционирование кольцевых генных сетей, конструируются двумерные поверхности, инвариантные относительно сдвигов вдоль траекторий, - ансамбли траекторий. Просматривается естественная аналогия с классической конструкцией аналитической механики - с поверхностями уровня интегралов движения (энергия, импульс и др.). Такие поверхности образуют слоения в фазовых портретах динамических систем гамильтоновой механики. В отличие от задач механики, для рассматриваемых нами моделей генных сетей слоения, образуемые инвариантными поверхностями, имеют особенности, все их слои содержат на своих границах предельные циклы. Описание фазовых портретов динамических систем в терминах их стратификаций и ансамблей их траекторий позволит строить более реалистичные модели генных сетей с использованием аппарата статистической физики и теории стохастических дифференциальных уравнений.