Self-intersections in parametrized self-similar sets under translations and extensions of copies

Переведенное название: Самопересечения в параметризованных самоподобных множествах при сдвигах и растяжениях копий

Результат исследования: Научные публикации в периодических изданияхстатья

Аннотация

В работе рассматривается проблема пересечения Fi(Kt)∩Ftj(Kt) пар различных копий самоподобного множества Kt, порожденного системой Ft={F1,…,Fm} сжимающих подобий в Rn, в которой одно отображение Ftj зависит от вещественного или векторного параметра t. Рассмотрены два случая: параметр t∈Rn задает сдвиг отображения Ftj(x)=G(x)+t и параметр t∈(a,b) задает коэффициент подобия отображения Ftj(x)=tG(x)+h, где 0<a<b<1, а G - изометрия в Rn. Мы накладываем некоторые ограничения на коэффициенты подобия отображений системы Ft и требуем, чтобы размерность подобия системы была не больше некоторого s. Для таких систем доказано, что хаусдорфова размерность множества тех параметров t, при которых пересечение Fi(Kt)∩Ftj(Kt) непусто, не превосходит 2s. Полученные результаты применены к проблеме проверки  строгого условия отделимости (SSC) для системы Fτ={Fτ1,…,Fτm} сжимающих подобий, зависящей от набора параметров τ=(t1,…,tm). Рассмотрены два случая: τ - набор сдвигов отображений Fτi(x)=Gi(x)+ti, ti∈Rn, и τ - набор коэффициентов подобия отображений Fτi(x)=tiGi(x)+hi, ti∈(a,b), где 0<a<b<1, а все Gi - изометрии в Rn. В обоих случаях мы находим достаточные условия, при которых система Fτ удовлетворяет SSC для почти всех значений параметров τ. Кроме того, рассмотрена более простая проблема пересечения A∩ft(B) для пары компактных подмножеств A, B пространства Rn. Рассмотрены два случая: ft(B)=B+t для t∈Rn, и ft(B)=tB для t∈R, где замыкание B не содержит 0. В обоих случаях доказано, что хаусдорфова размерность множества тех параметров t, при которых пересечение A∩ft(B) непусто, не превосходит dimH(A×B). Как следствие, при достаточно малой размерности произведения A×B в обоих случаях гарантировано пустое пересечение A∩ft(B) для почти всех значений параметра t
Переведенное названиеСамопересечения в параметризованных самоподобных множествах при сдвигах и растяжениях копий
Язык оригиналаанглийский
Страницы (с-по)116-124
Число страниц9
ЖурналTrudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN
Том25
Номер выпуска2
DOI
СостояниеОпубликовано - 1 янв 2019

Ключевые слова

  • self-similar fractal
  • general position
  • strong separation condition
  • Hausdorff dimension
  • HAUSDORFF DIMENSION

ГРНТИ

  • 27 МАТЕМАТИКА

Цитировать