Branching process in random environment with immigration: life periods and survival of a single family

Мы рассматриваем ветвящийся процесс, эволюционирующий в случайной среде, компоненты которой одинаково распределены и независимы. Предполагая, что иммиграция останавливается в первый момент, когда основной процесс выродился, мы исследуем в [1, 2] асимптотическое поведение хвоста распределения так называемого периода жизни докритических и критических процессов, то есть длительность интервала между моментом, когда процесс инициируется положительным числом частиц, и моментом, когда особей в популяции впервые нет. В работе [3] мы анализируем ветвящийся процесс, к каждому поколению которого присоединяется ровно один иммигрант. Пусть Ai(n) событие, состоящее в том, что все частицы основного процесса, живущие в момент n, являются потомками иммигранта, присоединившегося к популяции в момент i<n. В предположении, что анализируемый процесс является либо критическим либо докритическим, найдена при n→∞ асимптотика вероятности события Ai(n) в случаях, когда i фиксировано, разность n−i постоянна и, наконец, когда min(i,n−i)→∞.